Teorija

6. Tjedan

• Lekcija: Električna struja i strujni krug

---

1. Električna struja i strujni krug

1.1. Električna struja

Definicija električne struje

Električna struja $I$ definira se kao količina naboja $Q$ koja prođe kroz presjek vodiča u jedinici vremena $t$. Mat. izraz:

$$I = \frac{Q}{t}.$$

• Jedinica: amper (A), gdje je $1\, \mathrm{A} = 1\,\mathrm{C/s}$.

Smjer električne struje

• Konvencionalni smjer: Od pozitivnog prema negativnom polu izvora.
• Stvarni smjer elektrona: Od negativnog prema pozitivnom polu (jer elektroni nose negativan naboj).

Vrste električne struje

1. Istosmjerna struja (DC): Struja stalnog smjera i vrijednosti (npr. baterije).
2. Izmjenična struja (AC): Struja koja periodički mijenja svoj smjer i veličinu (npr. mrežna energija od 50 Hz ili 60 Hz).

Gustoća električne struje ($J$)

Ako je $I$ struja (A) koja prolazi kroz presjek površine $A$ (m$^2$), tad:

$$J = \frac{I}{A},$$

gdje je $J$ (A/m$^2$) gustoća struje. U analizi poluvodiča i elektromagnetizmu često se rabi upravo gustoća umjesto ukupne struje.

---

1.2. Strujni krug

Definicija

Strujni krug je zatvoreni put kojim električni naboji cirkuliraju. Sadrži:

• Izvor napona (baterija, generator),
• vodiče (žice),
• električne elemente (otpornike, kondenzatore, zavojnice, itd.),
• moguće i prekidače (za otvaranje/prekidanje kruga).

Kada je krug zatvoren, može poteći struja ako postoji razlika potencijala (napon) i vodič za elektrone.

Osnovni elementi

• Izvor napona: npr. baterija od 12 V ili mrežni izvor 230 V (AC).
• Vodiči: obično bakrene žice male otpornosti.
• Potrošači: npr. žarulja, motor, grijač (konzumiraju energiju).
• Prekidač: omogućuje uključivanje/isključivanje.

Ohmov zakon

Za vodljivost i otpornost:

$$V = I \cdot R,$$

gdje je $V$ napon (u voltima), $I$ struja (u amperima) i $R$ otpor (u ohmima). Ovo vrijedi za linearni otpornik.

---

1.3. Vrste strujnih krugova

Serijski spoj

• Komponente su jedna za drugom.
• Struja kroz sve elemente je ista.
• Napon se dijeli na elemente.
• Ako su otpornici $R_1, R_2,\dots$ serijski, ukupni otpor:

$$R_{\text{uk}} = R_1 + R_2 + \dots$$

Primjer: u seriji, ako jedan element pregori ili se krug prekine, struja prestane u cijelom krugu.

Paralelni spoj

• Komponente su spojene tako da im krajevi imaju isti napon.
• Napon je isti na svim elementima, a struja se dijeli: $I_{\text{uk}}= I_1 + I_2 +\dots$.
• Za otpornike:

$$\frac{1}{R_{\text{uk}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots$$

Dobra strana: ako se jedan paralelni krak prekine, ostali mogu i dalje voditi.

Mješoviti spoj

• Kombinacija serijskih i paralelnih grana.
• Rješava se korak-po-korak (prvo se pronađu čiste serijske ili paralelne skupine, pa se redukcijom svodi na jednostavnije).

---

1.4. Snaga u strujnom krugu

Izračun snage

• Snaga: $P = V \cdot I$ (u wattima, W). Predstavlja brzinu pretvorbe električne energije u neku drugu vrstu (npr. toplinsku, svjetlosnu, mehaničku).

Snaga na otporniku

Primjenom Ohmovog zakona:

1. $P= I^2\,R$, jer $V= I\,R$.
2. $P= \frac{V^2}{R}$, isto izvedeno drugačije.

---

1.5. Primjena

1. Kućne instalacije: najčešće paralelni spojevi utičnica, svjetala, jer svaki uređaj treba isti napon.
2. Elektronički uređaji: velik broj serijskih i paralelnih spojeva otpornika, kondenzatora, zavojnica i aktivnih komponenti (tranzistora).
3. Automobilski sustavi: istosmjerni (DC) sustav, serijsko-paralelni spojevi žarulja, motora i sl.

Vježbe

Auditorne vježbe: Osnovni zakoni električnog strujnog kruga, linearne električne mreže istosmjerne struje i idealni/realni izvori

---

Teorijski uvod (sažetak)

1. Ohmov zakon:

   • Veza napona, struje i otpora u elementu (otporniku): $$V = I \cdot R.$$

2. Kirchhoffov zakon struja (KZS):

   • Zbroj struja koje ulaze u čvor = zbroj struja koje izlaze iz čvora.
   • Mat. oblik: $$\sum I_{\text{ulaz}} = \sum I_{\text{izlaz}}.$$

3. Kirchhoffov zakon napona (KZN):

   • Zbroj padova i porasta napona u petlji (loop) = 0.
   • Mat. oblik: $$\sum V_{\text{u petlji}} = 0.$$

4. Linearne električne mreže (DC):

   • Elemente promatramo kao linearne (npr. otpornici, idealni izvori).
   • Rješavanje se temelji na KZS i KZN, plus dodatno Ohmov zakon.

5. Idealni i realni izvori:

   • Idealni izvor napona: drži konstantan napon bez obzira na struju.
   • Realni izvor napona: ima unutarnji otpor $r$, pa izlazni napon pada pri velikoj struji.
   • Idealni izvor struje: drži konstantnu struju bez obzira na napon.
   • Realni izvor struje: ima veliki unutarnji otpor.

6. Transformacija izvora:

   • Theveninov ekvivalent i Nortonov ekvivalent — moguće je zamijeniti izvor napona s unutarnjim otporom s ekvivalentnim izvorom struje s paralelnim otporom (ili obrnuto).

---

Zadatak 1: Primjena Kirchhoffovih zakona u jednostavnoj mreži

Tekst:
Imamo mrežu s dva čvora i tri otpornika $R_1, R_2, R_3$ te idealni izvor napona $V_s$. Mreža izgleda:

• Čvor A: spojen na izvor $V_s$ i otpornik $R_1$.
• Iz otpornika $R_1$ vodi se na čvor B, gdje su povezani otpornici $R_2$ i $R_3$ prema masu (referentnom čvoru).
• Zadano: $V_s= 12\,\mathrm{V}$, $R_1= 10\,\Omega, R_2= 6\,\Omega, R_3=4\,\Omega$.
  Traži se: struje kroz svaki otpornik i napon čvora B.

Rješenje (korak po korak)

1. Označimo:

   • Struja kroz $R_1$ nazovimo $I_1$.
   • Struje kroz $R_2$ i $R_3$ nazovimo $I_2$ i $I_3$.
   • Napon čvora B neka je $V_B$ (mjera u odnosu na masu, tj. 0 V).

2. Kirchhoffov zakon napona (KZN):

   • Izvor je 12 V, a pad napona na $R_1$ je $I_1 R_1$.
   • Petlja: $V_s - I_1 R_1 - V_B= 0$ $$12 - I_1 \cdot 10 - V_B=0 \quad\Longrightarrow\quad V_B= 12 - 10 I_1.$$

3. Kirchhoffov zakon struja (KZS) na čvoru B:

   • Dolazna struja iz $R_1$ je $I_1$.
   • Odlazne struje su $I_2$ i $I_3$.
   • KZS: $I_1= I_2 + I_3$.

4. Ohmov zakon na $R_2, R_3$:

   • $I_2= \frac{V_B}{R_2} = \frac{V_B}{6}, \quad I_3= \frac{V_B}{4}.$

5. Spajanje svega:

   • Iz KZS: $$I_1= \frac{V_B}{6} + \frac{V_B}{4}= V_B\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{4}\right)= V_B\left(\frac{2}{12} + \frac{3}{12}\right)= \frac{5 V_B}{12}.$$
   • Ali iz KZN (1) znamo $V_B= 12 - 10 I_1$.
   • Uvrstimo $I_1= \tfrac{5}{12} V_B$ u to: $$V_B= 12 - 10\left(\frac{5 V_B}{12}\right)=12 - \frac{50}{12}V_B= 12 - 4.167\,V_B.$$
   • Dakle: $$V_B + 4.167\,V_B=12 \quad\Longrightarrow\quad 5.167\,V_B=12 \quad\Longrightarrow\quad V_B\approx2.32\,\mathrm{V}.$$

6. Izračun struja:

   • $I_1= \frac{5}{12} \times2.32\approx0.97\,\mathrm{A}.$
   • $I_2= \frac{V_B}{6}\approx \frac{2.32}{6}=0.3867\,\mathrm{A}.$
   • $I_3= \frac{2.32}{4}=0.58\,\mathrm{A}.$
   • Provjerimo: $I_2+ I_3=0.3867+0.58=0.9667\approx I_1.$ OK.

Odgovor:

• $V_B\approx2.32\,\mathrm{V}.$
• $I_1\approx0.97\,\mathrm{A}, I_2\approx0.39\,\mathrm{A}, I_3\approx0.58\,\mathrm{A}.$

---

Zadatak 2: Idealni i realni izvor napona

Tekst:
Idealni izvor napona $E= 12\,\mathrm{V}$ ima unutarnji otpor $r= 2\,\Omega$ (što ga čini realnim izvorom). Spojimo ovaj izvor na otpornik $R= 10\,\Omega$.

1. Kolika struja teče krugom?
2. Koliki napon dobije potrošač?
3. Kolika snaga se troši na unutarnjem otporu, a kolika na potrošaču?

Rješenje (korak po korak)

1. Realni izvor: Ekvivalentno: idealni izvor od 12 V + serijski $r=2\,\Omega$, zatim potrošač $R=10\,\Omega$.
2. Ukupni otpor: $R_{\text{uk}}= R + r= 10 + 2= 12\,\Omega$.
3. Struja: $I= \frac{E}{R_{\text{uk}}}= \frac{12}{12}=1\,\mathrm{A}$.
4. Napon na potrošaču: $V_R= I \times R=1\times10=10\,\mathrm{V}$.
   • Razlika do 12 V se pojavljuje na $r$: $V_r=1\times2=2\,\mathrm{V}$.
5. Snaga na unutarnjem otporu: $P_r= I^2 r= 1^2\times2=2\,\mathrm{W}$.
   Snaga na potrošaču: $P_R= I^2 R=1^2\times10=10\,\mathrm{W}$.
   • Ukupni izvor daje $P_{\text{uk}}= 1\times12=12\,\mathrm{W}$, što je zbroj $2 +10=12$.

Odgovor:

• $I=1\,\mathrm{A}, \quad V_R=10\,\mathrm{V}, \quad P_r=2\,\mathrm{W},\quad P_R=10\,\mathrm{W}.$

---

Zadatak 3: Transformacija izvora

Tekst:
Imamo Nortonov izvor struje $I_N= 2\,\mathrm{A}$ s paralelnim otporom $R_N=5\,\Omega$. Pretvorite ga u Theveninov ekvivalent: odredite $E_{\text{Th}}$ i $R_{\text{Th}}$.

Rješenje (korak po korak)

1. Transformacija:
   • Norton: izvor struje $I_N=2\,\mathrm{A}$ paralelno s $R_N=5\,\Omega$.
   • Thevenin: izvor napona $E_{\text{Th}}$ serijski s $R_{\text{Th}}$.
2. Osnovni odnosi:
   • $R_{\text{Th}}= R_N=5\,\Omega$.
   • $E_{\text{Th}}= I_N \times R_N= 2\times5=10\,\mathrm{V}$.

Provjera: Theveninov ekvivalent je $E_{\text{Th}}=10\,\mathrm{V}$ i $R_{\text{Th}}=5\,\Omega$.

---

Zadatak 4: Linearna DC mreža s četiri otpornika i transformacija izvora

Tekst (skica):

• Izvor napona $E=15\,\mathrm{V}$ i unutarnji otpor $r=1\,\Omega$ (realni izvor).
• S izvorom serijski $R_1=4\,\Omega$. Potom čvor, gdje se granaju $R_2=6\,\Omega$ i $R_3=12\,\Omega$ paralelno, te još $R_4=10\,\Omega$ u nekoj serijsko-paralelnoj konfiguraciji.
• Traži se: ukupna struja, napon na $R_2$ i $R_3$, te struje kroz njih. Pretpostavimo da transformiramo dio kruga kako bismo si olakšali račun.

Rješenje (sažeti postupak)

1. Realni izvor transformiramo u Theveninov izvor: ovdje to i jest Thevenin ( $15\,\mathrm{V}$, $1\,\Omega$ ).
2. Redukcija serijskih otpornika, zatim paralelnih. Komad gdje su $R_2$ i $R_3$ paralelno: $R_{23}= \frac{R_2 R_3}{R_2+ R_3}= \frac{6\times12}{6+12}= \frac{72}{18}=4\,\Omega$.
3. Dalje se spoji to s $R_4$ i $R_1$ … i sl.
4. Konačno do jedne serije i do izračuna ukupne struje.
5. Primijeni KZS za paralelnu granu $R_2$ i $R_3$ za dobiti pojedine struje.

(Zadatak ostavljamo detaljnije za vježbu – ključ je u sistematskom korištenju transformacija i Kirchhoffovih zakona.)

---

Zadatak 5: Primjena linearnih mreža s DC na realan potrošač

Tekst:
Imamo DC mrežu 24 V, unutarnji otpor izvora 1.5 ohma. Potom potrošač (opterećenje) koji želimo maksimalnu snagu na njemu. Koliki otpor potrošača $R_L$ daje maksimalan prijenos snage?

Rješenje (korak po korak)

1. Maksimalni prijenos snage: dogodi se kad je $R_L= r$ izvora (teorem maksimalne snage).
2. Dakle: $R_L=1.5\,\Omega$.
3. Tada struja $I= \frac{24}{1.5+1.5}= \frac{24}{3}=8\,\mathrm{A}$. Snaga na $R_L= I^2 R_L= 64\times1.5=96\,\mathrm{W}$.

To je klasičan primjer usklađenja otpornika s unutarnjim otporom izvora.

---

Zaključci

1. Osnovni zakoni (Ohmov, Kirchhoffovi) nužni su za analizu linearnih DC mreža.
2. Realni izvori imaju unutarnji otpor, što uzrokuje pad napona pri opterećenju.
3. Transformacija izvora (Thevenin ↔ Norton) olakšava račun kada želimo pojednostaviti dijelove mreže.
4. U maksimalnom prijenosu snage otpornik opterećenja treba biti jednak unutarnjem otporu izvora.

Ispit

Što Ohmov zakon definira u električnim krugovima?

$V = I + R$

$V = I \cdot R$

$I = V \cdot R$

$R = V \div I$

Koji od sljedećih Kirchhoffovih zakona se odnosi na zbroj struja u čvoru?

Kirchhoffov zakon napona

Kirchhoffov zakon struja

Ohmov zakon

Theveninov zakon

Kako se transformira Theveninov ekvivalentni izvor u Nortonov ekvivalentni izvor?

Zamjenjuje se naponski izvor s paralelnim otporom i strujom

Zamjenjuje se strujni izvor s serijskim otporom i naponom

Zamjenjuje se naponski izvor s serijskim otporom i strujom

Zamjenjuje se strujni izvor s paralelnim otporom i naponom

Koja od sljedećih karakteristika najbolje opisuje idealni izvor napona?

Drži konstantnu struju bez obzira na otpor

Drži konstantan napon bez obzira na struju

Ima beskonačan unutarnji otpor

Ima nula unutarnji otpor

Koji je izraz za ukupni otpor $R_{\text{uk}}$ u paralelnom spoju dva otpornika $R_1$ i $R_2$?

$R_{ ext{uk}} = R_1 + R_2$

$R_{ ext{uk}} = \frac{R_1 + R_2}{2}$

$R_{ ext{uk}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

$R_{ ext{uk}} = \frac{R_1}{R_2}$

Što se događa sa strujom u serijskom spoju kondenzatora ako se jedan od kondenzatora prekine?

Struja kroz ostale kondenzatore se povećava

Struja kroz ostale kondenzatore se smanjuje

Struja kroz sve kondenzatore prestaje

Struja ostaje ista kroz ostale kondenzatore

Kako se kapacitivnost kondenzatora mijenja kada se dodaju kondenzatori u paralelnom spoju?

Kapacitivnost opada

Kapacitivnost ostaje ista

Kapacitivnost raste

Kapacitivnost prvo raste pa opada

Koja od sljedećih izjava najbolje opisuje maksimalni prijenos snage?

Otpornik opterećenja treba biti veći od unutarnjeg otpora izvora

Otpornik opterećenja treba biti manji od unutarnjeg otpora izvora

Otpornik opterećenja treba biti jednak unutarnjem otporu izvora

Otpornik opterećenja ne utječe na prijenos snage

Koji izraz se koristi za Ohmov zakon u električnim krugovima?

$P = V \cdot I$

$V = I + R$

$V = I \cdot R$

$R = V - I$

Što predstavlja Theveninov ekvivalentni izvor u električnim mrežama?

Idealni izvor napona s paralelnim otporom

Idealni izvor struje s serijskim otporom

Idealni izvor napona s serijskim otporom

Idealni izvor struje s paralelnim otporom

Kako se transformira Theveninov izvor u Nortonov ekvivalentni izvor?

Prikazuje se kao strujni izvor s paralelnim otporom

Prikazuje se kao naponski izvor s serijskim otporom

Prikazuje se kao strujni izvor s serijskim otporom

Ne može se transformirati

Što opisuje maksimalnu prijenos snage u električnom krugu?

Kad je otpor opterećenja nula

Kad je otpor opterećenja beskonačan

Kad je otpor opterećenja jednak unutarnjem otporu izvora

Kad je otpor opterećenja dvostruko veći od unutarnjeg otpora

Koja je serijska transformacija za Nortonov izvor s paralelnim otporom?

Theveninov izvor s serijskim otporom

Theveninov izvor s paralelnim otporom

Ne može se transformirati

Nortonov izvor s serijskim otporom